Основная часть:
Пусть M(x1, x2, ..., xm) внутренняя точка области определения функции u=f(x1, x2, ..., xm). Пусть ?хк - приращение k-ой координаты в данной фиксированной точке М, ему соответствует частное приращение функции:
Определение 1. Если существует , то он называется частной производной функции u=f(x1, x2, ..., xm) в точке M(x1, x2, ..., xm) по аргументу xк.
Частная производная по производной xk обозначается как
Определение 2. Функция u=f(x1, ..., xm) называется дифференцируемой в точке M(x1,...,xm), если ее полное приращение в точке M может быть представлено в виде
где A1, .., Am, - некоторые не зависящие от ?x1, .., ?xm, числа
?1, .., ? m, - бесконечно малые при ?x1>0, .., ?xm>0, функции, равные 0 при ?x1=..=?xm=0
Иными словами, дифференцируемость означает, что приращение функции представимо в виде линейной части по приращениям аргументов и членов более высокого порядка.
Линейная часть такого приращения называется полным дифференциалом.